a>0,b>0,a+b=1,求(1/a^2-1)(1/b^2-1)最小值

(1/a^2-1)(1/b^2-1)
=1/a^2b^2-(1/a^2+1/b^2)+1
=1/a^2b^2-(a^2+b^2)/a^2b^2+1
=1/a^2b^2-((a+b)^2-2ab)/a^2b^2+1
=1/a^2b^2-(1-2ab)/a^2b^2+1
=1/a^2b^2-1/a^2b^2+2ab/a^2b^2+1
=2/ab+1
而1=a+b≥2√ab
ab≤(1/2)^2=1/4
所以,原式=2/ab+1≥2/(1/4)+1=8+1=9

=（1/a^2-1)(1/(1-a)^2-1)
=[1/a(1-a)]^2-[1/a^2+1/(1-a)^2]+1
=[1/a+1/(1-a)]^2-{[1/a+1/(1-a)]^2-2/a(1-a)}+1
=[1/a+1/(1-a)]^2-[1/a+1/(1-a)]^2+2/a(1-a)+1
第一个方括号里面可以拆分成两个分式。第二个方括号可以配方成这个样子。然后连个式子可以约分掉
=2/a(1-a)+1
=2/[-(a-0.5)^2+0.25]+1
要使式子最小，则分式的分母要最大。
所以当且仅当a=0.5,b=0.5时，
原式max=9

a=1/2,b=1/2
(1/a^2-1)(1/b^2-1)=(4-1)(4-1)=3*3=9

9